Студенческая олимпиада сообщества

[olympeek]

Дорогие друзья!
Сегодня мы в первый раз проводим олимпиаду для членов сообщества. И хотя она называется студенческой, но попробовать свои силы может любой.
Срок окончания олимпиады 24 марта , 23-59. Решения, присланные после окончания, проверяться не будет.
Об олимпиаде: eek.diary.ru/p151261718.htm. Про регистрацию написано там же.

Задачи картинками:

смотреть

Задачи в текстовом формате:

смотреть

1) Решить в `ZZ`: `3x^2 - 7xy +2y^2 + 19x - 18y = -35`

2) Найти сумму:
`cos(x) + C_n^1cos(2x) + ... + C_n^ncos((n+1)x)`

3) Найти функцию `m(x)` `x in (0, 1)`, если `m'(sin^2(x)) = cos(2x) + tg^2(x)`

4) Пусть `m` - дифференцируема на `[a, b]` функция, `m(a) = m(b) = 0`. Доказать, что существует `c in (a, b): m(c) = m'(c)`

5) Пусть `f` - бесконечно дифференцируемая функция. Решить функциональное уравнение: `f(x+y) = f(x) + f(y) +xy(x^2/3 + xy/2 + y^2/3)`, зная что `f(2) = -2`

6) Решить функциональное уравнение: `2xf(x) + f(1/(1-x)) = 2x`

7) `x_1 in (0, 1)` `x_(n+1) = ln(1 + x_n)` Найти `lim_(n->oo) n*x_n`

8) Вычислить: `lim_(n->oo) ((n+1)ln(n!) - 2ln(2!3!...n!))/(n^2)`

9) Вычислить: `int_(-1)^1 (ln(1+x^2))/(1+e^x)dx`

10) Найти общее решение диф. уравнения: `(x^2 + 1)((y')^2 - yy'')= xyy'`

11) Найти общее решение диф. уравнения: `y' = y/(y^2 + 1)(1/x + ye^x - y^2/x)`

12) Параметры `a` и `b` меняются так, что система
`{(y = ax + 1), (x^2 + y^2 = 2bx):}`
имеет единственное решение `(x_0, y_0)`. Какую кривую при этом описывает точка `M_0(x_0, y_0)`?

13) Пусть `a_1 < a_2 < ... < a_k <= n`, - такой конечный набор натуральных чисел, наименьшее кратное любых двух из которых больше `n`. Доказать, что `sum_(i=1)^k 1/a_i < 2`
Успехов!

запись создана: 20.03.2011 в 12:35